Заказчик не оплатил полностью ремонтные работы в квартире и грозит судом, вынуждая их закончить. Что делать?

Здравствуйте, не совсем понятно в чем конкретно Ваш вопрос.

Если Вы понимаете, что  денег с такого заказчика не взять, и Вы хотите просто прекратить отношения,  если Вас беспокоят только угрозы судебного разбирательства, заказчик что-то требует от Вас то повода для волнения нет, т.к.  Ваш договор был заключен устно, установить объем Ваших обязательств крайне сложно без каки-либо письменных доказательств, равно как и факт получения Вами денег (конечно, если Вы расписки не давали).

Если речь о том, что Вы хотите получить причитающиеся Вам, по Вашему мнению, деньги, то ситуация следующая:

ТЕОРЕТИЧЕСКИ в соответствии с пунктом 1 ст. 434 ГК РФ ДОГОВОР МОЖЕТ БЫТЬ ЗАКЛЮЧЕН УСТНО, если законом для данного вида договора не установлена письменная форма и если стороны не условились о придании ему такой формы. Из вышеизложенного следует, что допускается устное заключение договора подряда. В случае спора стороны вправе в случае спора ссылаться в подтверждение сделки и ее условий в том числе на свидетельские показания. В судебной практике данные обстоятельства наиболее часто доказываются как раз свидетельскими показаниями, представляющими собой показания лиц, присутствовавших при совершении устной сделки или знающих о ней со слов сторон или из иных источников. Тем не менее правильная оценка судом в таких делах свидетельских показаний, скорее всего, окажется затруднительной из-за их неполноты, абстрактности, иногда и взаимоисключающего характера. Кроме свидетельских показаний, сторонам разрешается приводить в обоснование своих доводов и возражений иные доказательства, в том числе письменные, а равно ссылаться на видео- и аудиозаписи. 

В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ Вам необходимо зафиксировать факт выполнения работы (виды, объемы). Предлагаю Вам руководствоваться СТАТЬЕЙ 753 Гражданского кодекса РФ, определяющей порядок действий сторон при сдаче и приемке работ: «Заказчик, получивший сообщение подрядчика о готовности к сдаче результата выполненных по договору строительного подряда работ либо, если это предусмотрено договором, выполненного этапа работ, обязан немедленно приступить к его приемке….Сдача результата работ подрядчиком и приемка его заказчиком оформляются актом, подписанным обеими сторонами. При отказе одной из сторон от подписания акта в нем делается отметка об этом и акт подписывается другой стороной….Односторонний акт сдачи или приемки результата работ может быть признан судом недействительным лишь в случае, если мотивы отказа от подписания акта признаны им обоснованными». ТО ЕСТЬ ВАМ НЕОБХОДИМО вручить заказчику уведомление о готовности к сдаче результата выполненных работ и явиться с подготовленным актом сдачи-приемки (где будут зафиксированы виды, объемы выполненных работ). Если заказчик откажется подписывать акт, то Вы сделаете отметку об этом в акте. Это документ будет основанием для предъявления требования об оплате. Доказывание стоимости составит определенную трудность, поскольку доказать согласование Вами и заказчиком конкретной суммы осуществлялось устно. Но можно попробовать включить стоимость в акт, который будете предлагать на подпись заказчику.