Могут ли приставы зайти в квартиру при условии, что должник прописан в ней, но не является собственником?

Если такое всё же произойдет и приставы будут  производить у Вас опись имущества. И вот тогда, если в этом арестованном имуществе окажется имущество, которое принадлежит Вам, Вам нужно будет обратиться в суд с исковым заявлением об освобождении имущества от ареста и исключения из описи. В доказательство принадлежности имущества Вам, конечно, подойдут и чеки, и свидетельские показания. А также можно доказывать, что должник никогда  не проживал в данной квартире, а лишь был зарегистрирован. 

Но лучше Вам всего этого  не дожидаться и подать в суд иск о снятии должника с регистрационного учета, как не приобретшего право пользования жилым помещением (если он никогда там не проживал).

либо как утратившего право пользования жилым помещением (если проживал, но сейчас длительное время не проживает).

Признать граждан утратившими право на жилое помещение можно только в судебном порядке. Для вынесения такого решения суду необходимо будет получить ясные ответы на следующие вопросы: по какой причине и как долго ответчик отсутствовал в жилом помещении, носит ли его выезд из жилья вынужденный характер (например, конфликты в семье, развод и т. д.) либо добровольный, временный (работа в другом городе, обучение и т. д.) либо постоянный (вывез свое имущество, вступил в новый брак и т. д.), не чинились ли ему препятствия в пользовании спорным жилым помещением со стороны иных лиц, проживающих в нем, приобрел ли гражданин право пользования другим жилым помещением в новом месте жительства, и так далее.

Если суд подтвердит добровольный выезд ответчика из спорного жилого помещения на иное место жительства, отсутствие препятствий в пользовании данным жилым помещением, и сделает вывод, что таким образом последовал отказ от своих прав и обязанностей по договору социального найма жилья, то исковое заявление о признании гражданина утратившим право на спорное жилое помещение подлежит удовлетворению.

Исковое заявление, согласно Гражданско-процессуальному кодексу Российской Федерации, подается по месту нахождения ответчика или истца. В заявлении необходимо указать следующую информацию: наименования судебного органа; информацию об истце и ответчике; ходатайство истца о признании ответчика утратившим право на проживание в жилом помещении; основания для предъявления требований истца и доказательства, которые подтверждают эти основания; сведения о досудебных разбирательствах; перечень прилагаемых к исковому заявлению документов, их копии. К иску необходимо приложить:

1. копию правоустанавливающих документов на квартиру;

2. подтверждение о пользовании ответчиком жилым помещением;

3. копию письменного требования истца к ответчику;

4. копии искового заявления и предъявляемых ответчику документов;

5. документ, подтверждающий уплату государственной пошлины;

6. доказательства по делу.

При составлении искового заявления лучше воспользоваться помощью квалифицированного адвоката - ведь если иск будет содержать неверно выстроенные претензии или основываться на ошибочных нормах, то можно не добиться желаемого результата. Более того, существует реальный шанс вообще никогда уже не отстоять свои законные права, так как по одному и тому же делу в суд можно обратиться лишь единожды.