Должен ли быть вписан в паспорт родителя несовершеннолетний ребенок?

Конечно же нет, В паспорте гражданина РФ вносятся сведения только о несовершеннолетних детях, не достигших 14-летнего возраста. 

В соответствии с Постановлением Правительства Российской Федерации от 20.12.2006 года № 779 "О внесении изменений в Постановление Правительства Российской Федерации от 8 июля 1997 г. N 828", сведения о детях (гражданах Российской Федерации, не достигших 14-летнего возраста), теперь вносятся в паспорта родителей территориальными органами Федеральной миграционной службы. Отметка о детях (гражданах Российской Федерации, не достигших 14-летнего возраста) заверяется подписью должностного лица и печатью территориального органа Федеральной миграционной службы

Поскольку Вашему ребенку уже исполнилось 14 лет, у него уже должен быть свой собственный документ, удостоверяющий личность (т.е. паспорт).