Какие права на квартиру имеет несовершеннолетняя дочь владельца 1/3 части квартиры?

Здравствуйте, анонимный автор.

Несовершеннолетняя дочь сына, зарегистрированная по месту жительства, в любом случае сохраняет право пользования указанным жилым помещением. 

Если же Вас интересует право собственности на 2/3 доли, принадлежащие матери, то, как и сказала Наталья Беспалова,  Несовершеннолетняя дочь сына не является наследником первой очереди и при наследовании "по закону" (если не было никакого завещания), если сын жив, не приобретает права собственности на указанную долю.

Так, согласно ст.1142 ГК РФ 
1. Наследниками первой очереди по закону являются дети, супруг и родители наследодателя.
2. Внуки наследодателя и их потомки наследуют по праву представления.
 

 Мать - это ее бабушка? ТОгда никаких. Она не является наследником бабушки. Сын (если он единственный наследник) вступит в наследство полностью.